Dlaczego boimy się matematyki?

Fot. unsplash.com

Inspiracją do rozmowy z prof. Pawłem Strzeleckim, kierownikiem Zakładu Równań Różniczkowych i Prodziekanem ds. badań i współpracy międzynarodowej Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego, ale przede wszystkim z wielkim entuzjastą i propagatorem matematyki, było przedstawienie we wrocławskim Teatrze Współczesnym pt. „Nie trzeba”, na które wybrałam się parę tygodni temu z przyjaciółmi.

Tablica matematyczna, fot. pixabay
Tablica matematyczna, fot. pixabay

Spektakl traktuje o życiu i pracy petersburskiego matematyka Grigoria Perelmana, który zapisał się na kartach nauki i historii, udowadniając hipotezę Poincarego, będącą na liście tzw. problemów milenijnych, czyli siedmiu wielkich pytań matematycznych bez odpowiedzi, którą w 2000 roku opublikował Instytut Claya, oferując milion dolarów za rozwiązanie każdego z zagadnień! Perelman zasłynął nie tylko, jako geniusz, który w latach 2002-2003 udowodnił hipotezę postawioną blisko sto lat wcześniej (bo w 1904 roku), ale również, jako człowiek, który nie przyjął nagrody pieniężnej, czyli odrzucił milion dolarów!

Osoba błyskotliwego matematyka stała się przyczynkiem do powstania świetnej sztuki, napisanej specjalnie na zamówienie wrocławskiego teatru oraz do postawienia wielu ważnych pytań, nie tylko o matematykę, ale też o to czym jest mądrość, o granice percepcji, wybory życiowe, kształt wszechświata itp. Kiedy okazało się, że po przedstawieniu odbędzie się jeszcze wykład prof. Pawła Strzeleckiego na temat pracy Perelmana, pomyślałam sobie, że to doskonała okazja, aby dowiedzieć się czegoś więcej o matematyce i jej roli w naszej codzienności.

Tak doszło do mojego spotkania z niezwykle otwartym człowiekiem, lubianym i cenionym przez studentów wykładowcą, tłumaczem wielu książek popularnonaukowych o matematyce – np. Iana Stewarta i Martina Gardnera, autorem poczytnej „Matematyki współczesnej dla myślących laików”, redaktorem miesięcznika „Delta”, ale przede wszystkim z wielkim pasjonatem matematyki!

Matematyka jest po prostu piękna!
Profesor Paweł Strzelecki

BestsellerCafe: Panie Profesorze, dlaczego boimy się matematyki? Większość ludzi, na pytanie o matematykę, usztywnia się, u wielu takie pytanie powoduje co najmniej jakiś dyskomfort, a u innych niepokój – skąd to się bierze i czy jest się czego bać?

Profesor Paweł Strzelecki: Ma pani rację, faktycznie tak bywa. Powszechnie wiadomo, że matematyka może wywoływać niezdrowe emocje, o czym lubią świadczyć publicznie ludzie o znanych twarzach i nazwiskach, którzy chętnie potwierdzają, że maturę z matematyki zdali tylko dzięki ściągawce w kanapce.

Ale mój starszy kolega po fachu – Marek Kordos, wyznaje pogląd, z którym w dużej części się zgadzam, że jednym z powodów istnienia wielu obaw przed matematyką jest oświecenie i rewolucja francuska. W czasach monarchii oświeceniowych, władcy – tacy jak Fryderyk II czy Katarzyna Wielka, zdali sobie bowiem sprawę, że filarem władzy jest armia, a filarem armii dobrze wykształceni dowódcy. Zaś najbardziej wykształceni musieli być oficerowie saperów i artylerii, generalnie – wojsk inżynieryjnych.

BC: To wydaje się oczywiste.

PPS: Tak, a oczywistym kawałkiem tego wykształcenia jest właśnie matematyka. Może nie bardzo skomplikowana, ale jednak już taka, która daje solidny fundament do kształcenia oficerów. Przekonanie o ważności i wartości edukacji wojskowych było szczególnie mocne we Francji właśnie w okresie rewolucji i tuż po niej. To właśnie dzięki dobremu przygotowaniu dowódców, Francja, która przez mniej więcej 25 lat (do bitwy pod Waterloo) była w stanie permanentnej wojny ze wszystkimi, mogła tak długo opierać się zjednoczonym siłom europejskim. Trzonem tej siły było świetnie działające szkolnictwo wyższe i świetnie wykształceni dowódcy, którzy potrafili zarówno dobrze dowodzić, organizować, jak bronić. A pośród tych ludzi, związanych – w tamtym czasie i miejscu – z armią, są wielkie umysły matematyczne, formułujące wtedy twierdzenia pana X lub Y, ważne dla matematyki również dzisiaj. Okazuje się, że w życiorysach tych osób bardzo często pojawiają się epizody związane z karierą wojskową lub szkolnictwem wojskowym.

BC: Ale co to ma wspólnego z naszym strachem przed matematyką?

PPS: Już mówię, to był tylko wstęp. Kiedy w XIX w. za sprawą wieku pary i rewolucji przemysłowej, matematyka powszechnie i śmiało wkroczyła na wszystkie politechniki, faktycznie stała się prawdziwą królową nauk, to nauczyciela matematyki namaszczono w każdej szkole na pierwszego po Bogu. Ktoś, kto uczył matematyki, stawał się naprawdę ważną personą. Z drugiej jednak strony, pomimo oczywistych wpływów, to ciągle mało widoczna kasta (i wtedy, i dzisiaj). Na to zaś nakłada się sposób nauczania – nie zawsze ciekawy dla ucznia, częściej jednak wygodny dla nauczyciela, upraszczającego system oceniania i sprawdzania, z zadaniami mającymi konkretny wynik, możliwymi do weryfikacji według jakiegoś szablonu. Oczywiście, są też takie działy matematyki, których uczy się łatwiej – jak trygonometria czy logarytmy, do których można podejść jak do nauki tańca latynoamerykańskiego – dwa kroki w przód, jeden w tył. Dlaczego właśnie tak? Ano dlatego, żeby było ładnie, bo wtedy wszystko wychodzi. To przykład na to, że ludzie wcale nie muszą wiedzieć dlaczego, wystarczy, że wiedzą jak.

BC: To znaczy, że boimy się, bo tak naprawdę wcale nie rozumiemy dlaczego..?

PPS: Boimy się tego, że od oceny z matematyki strasznie dużo zależy. Rodzice się tym naprawdę przejmują, mówiąc dzieciom, żeby się uczyły, bo inaczej nie dostaną się do dobrej szkoły, nie będą mogły studiować na dobrej uczelni. Coraz więcej osób rozumie, że znajomość matematyki jest przepustką, która otwiera drzwi nie tylko na studia matematyczne czy inżynieryjne, ale szczególnie na ekonomiczne – na dowolnym wydziale SGH czy dobrym stypendium zagranicznym. A ponieważ w szkole uczy się tego przedmiotu w sposób ahistoryczny i odczłowieczony – żeby było wygodnie nauczycielowi –  to w uczniach takie podejście najczęściej budzi niechęć, szczególnie u ludzi samodzielnych, zbuntowanych albo trochę słabszych. To przykład, że matematyki używa się, jako narzędzia do szufladkowania i klasyfikowania ludzi – tak samo, jak w czasach napoleońskich, kiedy wskazywano palcem – ty będziesz mógł być artylerzystą, a ty nie; ty się do czegoś nadajesz, a ty nie.

BC: Czy są zatem jakieś skuteczne sposoby, aby matematyki uczyć w sposób przyjazny?

PPS: Nie wiem. W warunkach polskich to bardzo trudne pytanie. Bo w warunkach polskich nauczyciel zarabia znacznie gorzej niż choćby w Niemczech, nie porównując do Szwajcarii. Przez to niższy jest też prestiż społeczny tego zawodu. W związku z tym, selekcja do zawodu – może nie jest całkiem negatywna, ale na pewno ma elementy negatywne. Na Uniwersytecie Warszawskim obserwujemy (myślę, że podobnie jest na innych polskich Uniwersytetach), że specjalność nauczycielską wybiera niewiele osób, większość stawia na tematykę ekonomiczną i aktuarialną. Okazuje się, że mniej niż 10% dyplomów magistrów matematyki to przyszli nauczyciele, czy potencjalni nauczyciele. Niektórzy z nich są świetni, ale niektórzy po prostu mieli zbyt niską średnią ocen, aby dostać się na seminarium magisterskie o metodach matematycznych w ubezpieczeniach, po którym dość łatwo można dostać dobrą pracę w korporacji – firmie ubezpieczeniowej lub banku.

Choć zdarzają się również wyjątki – w ubiegłym roku zaskoczeniem na naszym wydziale był student, który przez cały czas nauki był zawsze w czołówce laureatów konkursów matematycznych, był na międzynarodowej olimpiadzie matematycznej, miał w indeksie same piątki i… postanowił zostać nauczycielem! A mógłby, w dowolnym miejscu na świecie, zrobić całkiem przyzwoita karierę naukową, wszędzie by go chętnie przyjęli. Ale takich przykładów jest jednak mało. I dopóki ten zawód nie uzyska choć trochę większego prestiżu, to o dobrych ludzi w tym zawodzie będzie trudno.

BC: Rozumiem, że matematyk może zarabiać lepiej w bankowości niż w szkolnictwie. Rozumiem nawet, że może brakować w tym fachu dobrych fachowców. Ale sam sposób nauczania nie zależy przecież tylko od nauczycieli, to też sprawa odgórnych programów nauczania i ministerialnych pomysłów, choćby na zakres wiedzy konieczny do przyswojenia w danym okresie rozwoju dziecka czy młodego człowieka. Zatem, może to jednak tam tkwi sedno problemu – że na samym początku edukacji zamiast uczyć odkrywania nowych rzeczy, wciska się dzieci w jakiś szablon, w którym nie każdy się mieści?

PPS: Jest taka pani profesor pedagogiki, pani Edyta Gruszczyk-Kolczyńska, która zajmuje się pedagogiką i edukacją matematyczną. Pani profesor prowadziła, a może nawet prowadzi nadal, bardzo ciekawe badania na temat tego, co szkoła robi z zainteresowaniem dzieci matematyką na etapie pierwszych klas szkoły podstawowej. Okazuje się, że szkoła przez to, że musi zaprowadzić jakiś porządek, ma jakiś program – który mówi na przykład, że najpierw dodajemy w takim zakresie, a dopiero później w trochę większym; że jak dodajemy z przekroczeniem progu dziesiątkowego to trzeba to działanie rozbić na dwa odrębne działania i najpierw dodawać do pełnej dziesiątki, a potem resztę – karci dzieci omijające któryś z takich etapów.

Właśnie taka sytuacja przydarzyła się moim trochę młodszym znajomym – moja była doktorantka i jej mąż, też matematyk, których dziecko przechodziło niedawno test drugoklasisty – dodam, że dziecko doskonale rachujące, bez potrzeby etapowania dodawania. A pani wychowawczyni z wyrzutami sumienia tłumaczyła rodzicom – Ja rozumiem, że państwa może to irytować, mnie też to irytuje. Ale ja mam jasno napisane, co jest w programie  i muszę w związku z tym napisać, że państwa córka nie opanowała tych założeń. To pokazuje, że szkoła ciągle ma problem z tymi, którzy wychodzą poza szlak. Szkoła mówi takiemu uczniowi – nie wyrywaj się, takie rzeczy to my będziemy przerabiać dopiero za jakiś czas. A takie podejście dorosłych zabija w dziecku ciekawość i eliminuje element zabawy.

BC: Można temu jakoś zaradzić?

PPS: Badania prof. Gruszczyk-Kolczyńskiej pokazują, że w każdym pokoleniu jest grupa mniej więcej 25% populacji, która ma w sobie bardzo głęboką i twórczą ciekawość świata na wielu płaszczyznach i w bardzo różnych kierunkach, co jest z kolei warunkiem do tego, aby móc odnosić jakieś sukcesy w edukacji matematycznej. W zależności od tego, na jaki grunt trafi ta ciekawość, tam zakiełkuje. Jeśli zainteresowanie zostanie ukierunkowane inaczej niż w stronę matematyki, to właśnie tam można spodziewać się efektów. Jeśli na przykład dziecko z dużym zasobem ciekawości ma ojca mechanika, który zainteresuje je swoją pracą – pokaże jak rozłożyć motor, jakie części do siebie pasują, jak wszystko razem działa, co jest ze sobą powiązane, jak logicznie łączyć różne części, aby dało się uruchomić – to taki ktoś ma szansę zostać dużej klasy rzemieślnikiem w dorosłym życiu.

BC: W takim razie podstawą rozwoju jest ciekawość..?

PPS: Tak. To podstawa.

BC: Skoro ciekawość jest taka ważna, to może są jeszcze jakieś inne cechy, które powinien mieć matematyk?

PPS: Matematyk powinien być przede wszystkim ciekawy – co już ustaliliśmy. Dobrze, żeby był też sceptyczny. Powinien umieć słuchać, mieć dużą dozę samokrytycyzmu w sobie. No i powinien być strasznie pracowity. Pracowitość to 95% sukcesu. Zdolności, owszem, mają znaczenie, ale każdy dorosły matematyk powie pani, że widział bardzo wielu ludzi, którzy w jakimś momencie życia robili wrażenie błyskotliwie zdolnych, wręcz niewiarygodnie zdolnych, a jednak nie zrobili żadnej kariery naukowej w matematyce.

BC: Czy matematyka kształtuje charakter?

PPS: Pewnie każdemu inaczej, trochę na pewno. Jak patrzę na swoich kolegów po fachu, którzy – osiągnęli jakąś pozycję zawodową, zostali gdzieś profesorami, mają jakieś twierdzonko ze swoim nazwiskiem, albo mogą powiedzieć, że ta koncepcja czy metoda jest ich – to mogę potwierdzić, że oni wszyscy są naprawdę ogromnie pracowici. I z reguły większość z nich powiedziałoby pani, że akurat oni mieli szczęście do bardzo dobrych nauczycieli matematyki, że może faktycznie nauczyciele tak w ogóle są różni, jednak oni trafili w ręce nauczycieli bardzo dobrych. To dla mnie przykłady ludzi, którzy mieli w sobie ową twórczą ciekawość, a potem trafili na odpowiednie osoby, które ukierunkowały ich matematycznie, często zupełnie nieświadomie.

Gdyby przytoczyć tezę Godfrey’a Harolda Hardy’ego z jego „Apologii matematyka”, w której mówi on, że człowiekowi młodemu chce się rywalizować o zaszczyty, uznanie, sławę, a nawet bogactwo, to można przyjąć, że kariera naukowa, w szczególności kariera matematyczna, to pole, na którym można to wszystko realizować według bardzo jasnych i przejrzystych kryteriów oceny i uznania. Poza tym to działalność twórcza, po której coś konkretnego zostaje, zwykle na bardzo długo; jeśli coś zostało udowodnione i zaakceptowane, to zasadniczo, zostaje na zawsze.

BC: Powiedział pan przed chwilą coś bardzo interesującego dla mnie – że uprawianie zawodu matematyka to działanie twórcze. W takim razie, czy wyobraźnia jest ważna w tej profesji?

PPS: Jest bardzo ważna. Perelman, o którym własną sztukę wystawił wrocławski Teatr Współczesny, miał swoją tablicę o wymiarach 1,4m na 1,41m (przynajmniej w tej sztuce, bo nie wiem jak było naprawdę), na której zapisywał, warstwowo, wszystkie swoje rachunki. Każdy matematyk tak ma, że czasami siada i zaczyna coś gryzmolić. Ale jeśli ktoś, kto patrzy na to z boku, myśli o matematyku, jako o kimś, kto niewiarygodnie szybko liczy i przetwarza dane liczbowe jak maszyna, to jest naiwny. Bo matematyk to raczej ktoś, kto posiada bardzo specyficzny rodzaj wyobraźni, co pozwala mu, bez wchodzenia w szczegóły, ogarnąć myślą bardzo skomplikowane i długie rachunki, odpowiednio je po drodze grupować, nadawać im właściwą ważność i dodatkowo przez cały czas kontrolować ten proces w taki sposób, aby na końcu faktycznie uzyskać spodziewany wynik.

Podobną wyobraźnię musi mieć kompozytor, który patrzy w partyturę, gdzie jest las nutek, dla mnie będący tylko zbiorem kleksów na pięciolinii, a dla profesjonalnych muzyków, po prostu muzyką. I jeśli oni zagrają te nutki, a ja usłyszę te dźwięki w filharmonii, to jest dla mnie oczywiste, że ktoś, kto stawiał te małe kleksy na partyturze po raz pierwszy, musiał mieć wyobraźnię. Właśnie od tego wszystko się zaczyna.

Jeśli więc ktoś mówi – np. tak jak Poincare w 1904 roku: „Każda zwarta i jednospójna rozmaitość trójwymiarowa bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą”, a potem ktoś to udowadnia, w tym przypadku Perelman w latach 2002-2003 –  to musi mieć wyobraźnię geometryczną, przestrzenną, która pozwala widzieć rzeczywistość w jakichś kształtach oraz ogarniać naprawdę długie rachunki, odwołujące się do analogii na takim poziomie i o takiej strukturze, która staje się językiem zapisu tej rzeczywistości.

Ale wywołała pani we mnie jeszcze inne skojarzenie. Otóż, jest taki tekst Paula Lockhart’a pt. „Lament”, który łatwo znaleźć w Internecie i przeczytać, a traktuje o tym, co by się stało, gdyby uczyć  muzyki jak kaligrafii, zamiast od razu przekładać nuty na dźwięki, najpierw przez długi, długi czas tylko je rysować na pięciolinii, aby osiągnąć w tym rysowaniu perfekcję. Dopiero po osiągnięciu takiego mistrzowskiego stopnia, można by przejść dalej…

BC: A więc najpierw warsztat…

PPS: Owszem. W dodatku najbardziej mechaniczny. Taki warsztat na pewno ma znaczenie dla kompozytora, ale czy ktoś, kto chce po prostu słuchać muzyki, musi posiadać takie umiejętności? Raczej nie. W edukacji muzycznej to jest jasne, a w edukacji matematycznej już z tym gorzej. Element zabawy i radości jest wycinany z tej edukacji. Bo to właśnie ten warsztat najłatwiej sprawdzić – czy ktoś równo rysuje nutki albo czy potrafi udowodnić tożsamość trygonometryczną.

BC: Muzyka na pewno jest dobrym przykładem dziedziny, w której matematyka odgrywa zauważalną rolę. Czy może Pan podać jakieś inne przykłady udziału matematyki w opisywaniu rzeczywistości?

PPS: Sztandarowym przykładem współczesności i takiego zjawiska, w którego tle stoi matematyka, a z którym jeszcze trzydzieści lat temu stykał się mało kto, a dzisiaj styka się w zasadzie każdy, jest kryptografia z publicznym kluczem. Każdy, kto chociaż raz dokonał w Internecie jakiejś transakcji, albo kto bankował, ten wie o czym mowa. Kłódeczka przed literami https to przykład zastosowania XVIII wiecznej teorii liczb do kryptografii. Szyfrowanie odbywa się w taki sposób, że ja udostępniam sposób szyfrowania wszystkim zainteresowanym, jednak to tylko połowa tajemnicy (klucza), bo druga jest u mnie, dzięki czemu potrafię odczytać wysyłane do mnie, zaszyfrowane wiadomości. Obie połówki klucza są ze sobą powiązane i aby to powiązanie odkryć, trzeba rozkładać bardzo duże liczby na czynniki pierwsze. W powszechnym rozumieniu to jest bardzo trudne, bo nie ma żadnego ogólnie znanego algorytmu, który by to robił szybko. Jeśli trzymam te liczby pierwsze w tajemnicy, a tylko ujawniam jaki jest ich iloczyn, to pozwalam szyfrować listy do siebie, ale odszyfrować je potrafię tylko ja. Matematyczną część tego mechanizmu ludzie bardzo dobrze rozumieli już prawie 300 lat temu. Jednak pomysł na jego zastosowanie w szyfrowaniu urodził się znacznie później i należy do izraelskich i amerykańskich uczonych sprzed mniej więcej czterdziestu lat – to algorytm  Rona Rivesta, Adi Szamira oraz Leonarda Adlemana, w skrócie RSA. I to jest przykład takiej matematyki działającej w tle, o której większość z nas nic nie wie, choć korzysta z niej na co dzień, ale tego sobie nie uświadamia.

BC: Sądzi Pan, że dzisiejszy świat dałby sobie radę bez matematyki?

PPS: Pewnie dałby, ale byłby inny. Jest taka słynna anegdota o Richardzie Feynman’ie i Marku Kacu. Marek Kac pochodził z Krzemieńca, ale jako bardzo młody człowiek wyemigrował do Stanów Zjednoczonych, wysłany tam przez rodzinę, która przeczuwała co stanie się z Żydami w Europie Środkowej i Wschodniej. Tenże Marek Kac zrobił w USA karierę, jako matematyk. Był m.in. długoletnim współpracownikiem Richarda Feynman’a, słynnego fizyka. I oni kiedyś, po jakimś wykładzie dla grona profesjonalistów, mieli następującą wymianę zdań: Feynman – Marku, czy to prawda, że gdyby nie było matematyki, to rozwój fizyki opóźniłby się o cały tydzień? Kac Tak, to byłby ten tydzień, w którym Bóg stworzył świat!

BC: A jednak fundamentalne znaczenie…

PPS: Świat byłby inny bez matematyki. Bez matematyki nie byłoby opisu fal elektromagnetycznych tzn. że nie byłoby radia, nie byłoby sieci bezprzewodowych, sieci komputerowych w ogóle. Bez logiki matematycznej nie byłoby przecież komputera!

BC: A bez komputera pewnie Internetu! Dla wirtualnego pokolenia Y czy Z to prawdziwy dramat…

PPS: Dramat nie dramat, pewnie byłoby inaczej, coś zapełniłoby tę pustkę. Ale bez wątpienia, bez matematyki nie byłoby całkiem dużej części fizyki, choć to odróżnienie w nauce – na matematykę i fizykę, jest stosunkowo późne w historii cywilizacji. Newton, który urodził się jeszcze w XVI w. a zmarł już w XVII, nie uważał, że jest fizykiem czy matematykiem. On był jednym i drugim, w zależności od potrzeby. On po prostu rozwiązywał problemy, które stawały przed nim i nauką w danym momencie. Szukał odpowiedzi.

BC: Podczas wcześniejszego wykładu powiedział Pan coś, co utkwiło mi w pamięci – że matematyka po prostu rozwiązuje problemy. Jakie?

PPS: Problemy matematyczne można podzielić na dwie grupy, choć to podział dość płynny i nie łatwy. Pierwsza grupa to problemy, które w danym momencie rozwoju matematyki pochodzą z jej wnętrza i biorą się z niej samej. Hipoteza Poincare’go jest przykładem takiego problemu – kiedy matematyka stworzyła jakieś pojęcie (zupełnie inna sprawa po co). To przykład badania związków i kontaktów ze światem oraz próby opisania tych zależności. To przykład stawiania pytań, aby móc definiować różne pojęcia, badać ich własności. I właśnie te pytania są najważniejsze, nie to skąd się wzięły, ani to, czy mają związek z tym, co za oknem; to nie ma dla matematyka żadnego znaczenia.

Drugą grupę stanowią pytania, które choć stawiane w języku matematyki, mają związek z innymi dziedzinami – fizyką, biologią, chemią. To sytuacje, kiedy udzielenie odpowiedzi ma bezpośredni związek z kontrolowaniem jakiegoś procesu, czyli odpowiedź matematyczna daje natychmiastowe przełożenie na pewną własność modelu matematycznego, opisującego jakieś zjawisko. Bardzo dużo takich modeli wykorzystuje na przykład biologia populacyjna, która próbuje pokazać cykliczne zmiany w ramach danej grupy, śledząc zależności dzięki matematyce. Naukowcy wykorzystują wtedy równania różniczkowe, aby odzwierciedlić pewne własności procesów biologicznych, zadać jakieś pytania (w sensie matematycznym) np. czy są jakieś rozwiązania okresowe, bo jeśli tak, to cykl jest powtarzalny, więc obserwowane zmiany nie są anomalią, ani niestabilnością przyrody, tylko naturalnym procesem. I to jest matematyka, która ma ścisły związek z jej zastosowaniem na użytek opisu konkretnych zjawisk otaczającego świata.

BC: Czyli matematyka stosowana?

PPS: Ja wolę mówić o zastosowaniach matematyki. Nie ma matematyki teoretycznej i stosowanej. Po prostu nie ma, nie boję się tak twierdzić. Jedyne rozróżnienie według mnie to matematyka dobra i zła. Jest więc matematyka i jej zastosowania.

BC: A jak do tej pierwszej grupy mają się tzw. problemy milenijne, czyli wielkie matematyczne pytania bez odpowiedzi (poza jednym)?

PPS: One niewątpliwie należą do teoretycznej matematyki. Na pewno nie mają takiego przełożenia, żeby zbudować jakieś lepsze urządzenie albo natychmiast zrozumieć jakiś proces fizyczny czy biologiczny. Te problemy są postawione w taki sposób, że mają dużo wspólnego z matematyką jako taką i z dość rozległymi obszarami jej zastosowań.

BC: Czy właśnie tak jest w przypadku Perelmana i jego dowodu?

PPS: Pewnie większość matematyków powiedziałaby, że to typowy przykład czegoś bardzo teoretycznego w matematyce, co nie ma natychmiastowego przełożenia na nasze rozumienie świata jako takiego. Ale ma za to bardzo głęboki wpływ na to, jak nasza cywilizacja rozumie bardzo szeroki obszar matematyki, również ten powiązany z geometrią oraz z tym, jak tej geometrii można używać do opisywania świata lub zjawisk; jakiego rodzaju obiekty w tej geometrii występują i jak wyglądają. Bo wielowymiarowa rzeczywistość sprawia, że ludzie czują się zagubieni, a matematyka pozwala oswajać te nowe wymiary i porządkować informacje o niej.

BC: A jednak trudno to sobie wyobrazić, nawet cztery wymiary…

PPS: No dobrze, ma pani rację, trudno, matematykowi też. Ale jeśli akceptujemy kartezjański układ współrzędnych i to, że za pomocą liczb można opisywać położenie, to każdy wie o czym mówi długość i szerokość geograficzna, w przestrzeni jeszcze wysokość. Żeby powiedzieć co się z tym układem dzieje i go opisać trzeba już więcej liczb niż dwie czy trzy. Wyobraźmy sobie dwa wahadełka – jedno podczepiamy pod drugim i oba się poruszają; jedno porusza się tak, że potrzeba dwóch liczb, ma stałą długość, więc porusza się po sferze wokół tego podwieszenia, a drugie jest podwieszone pod tym pierwszym, poruszając się po sferze, której środek już się porusza. Do opisania całego układu potrzeba już czterech liczb. I te cztery liczby to punkty w czterowymiarowej przestrzeni. Podobnie jest z ruchem planet – jak porusza się dziesięć planet, to potrzebujemy już trzydziestu liczb. Bardzo często jest tak, że wygodniej nam przyglądać się jednemu punktowi w wielowymiarowej przestrzeni niż wielu punktom w przestrzeni niższego wymiaru. Przykładem może być latająca mucha. Można zrzutować trajektorię lotu muchy na trzy ściany i uzyskać trzy różne wykresy jednowymiarowe. Ale z każdego takiego wykresu oglądanego osobno nijak  nie dowiemy się, jak faktycznie latała ta mucha. Żeby zrozumieć co dzieje się z całym układem, trzeba go oglądać takim, jakim on jest. Konieczność rozważania wielowymiarowych tworów geometrycznych nie wyrasta z tego, że jakiejś grupie geometrów nie wystarczają trzy wymiary, tylko z tego, że o opisywaniu ruchu wielu ciał i wielu punktów czasami wygodniej myśleć, jak o ruchu jednego punktu w wielowymiarowej przestrzeni.

BC: To wszystko jest jednak dość abstrakcyjne dla przeciętnego człowieka. Niektóre zagadnienia nie są oczywiste nawet dla specjalistów – choćby dzieło Perelmana. Jak Pan sądzi, ile osób na świecie tak naprawdę rozumie ten dowód?

PPS:  W szczegółach?

BC: Tak, na poziomie eksperckim.

PPS: Wydaje mi się, że to trzycyfrowa liczba, nie wiem czy czterocyfrowa.

BC: Domyślałam się, że to dość wąskie grono; że to jednak są tak specjalistyczne i złożone zagadnienia, na takim poziomie zaawansowania, że niewielu ludzi da radę objąć to umysłem. Dla mnie to oznacza, że trzeba być naprawdę mądrym, żeby to rozumieć. Mam rację, czy się mylę?

PPS: Ludziom wydaje się, że matematyk to taki szalony geniusz. Takie wrażenie można odnieść choćby po obejrzeniu przedstawienia o Perelmanie, a to obraz fałszywy. Z gruntu fałszywe jest bowiem przekonanie, że samotny geniusz tworzy coś genialnego, co zrozumieć mogą wyłącznie inni geniusze. Sięgając do historii – kiedy, wspomniany już w naszej rozmowie, Newton obmyślał pojęcie pochodnej i całki, to potem mniej więcej przez sto lat po nim było może z kilkudziesięciu ludzi, którzy jakoś to rozumieli i drugie tyle, osób bardziej zanurzonych w filozofii niż matematyce, mających poważne wątpliwości czy to aby nie są jakieś bzdurne koncepcje. Ale wyszło na to, że to się jednak spina, że jednak działa. I dzisiaj  całe rzesze studentów politechnik uczą się tych całek i pochodnych, poznają ich własności i wykorzystują w różnych obszarach inżynieryjnych. I okazało się, że po trzystu latach z hakiem, ludzi rozumiejących co to jest całka i pochodna, można liczyć już w liczbach sześciocyfrowych. I ci ludzie wcale nie muszą tego rozumieć na poziomie mistrzowskim, wystarczy, że potrafią to stosować.

Podobnie jest z Perelmanem – to co między rokiem 2003 a 2006 było bardzo trudne do zrozumienia dla garstki ekspertów ma dzisiaj książkowe wersje i osobne opracowania. Mogę sobie wyobrazić, jako osoba związana z matematyką, że przychodzi do mnie pięciu zdolnych magistrantów i dwóch doktorantów z propozycją wspólnego przeczytania i zrozumienia książki Morgana i Tiana i że faktycznie dzielimy ten materiał na partie, robimy seminarium i za półtora roku możemy powiedzieć, że rozumiemy ten dowód w szczegółach. Dzięki Perelmanowi, który otworzył pewne drzwi, coraz więcej ludzi będzie mogło przez nie przejść, albo choćby zerknąć do środka.

BC: Z tego co Pan mówi wynika, że ludzie tacy jak Perelman przesuwają granicę poznania…

PPS: Tak, to bardzo ładne podsumowanie. Ja i wielu ludzi nauki, dokładnie tak myślimy – że przesuwa się granica dostępności ludzkiego poznania, o jeden krok dalej. Inny przykład takiego genialnego matematyka, który – pracując w samotności –  udowodnił wielkie twierdzenie Fermata, to Andrew Wiles. W tłumaczonej przeze mnie książeczce o tym twierdzeniu, jest wypowiedź Wiles’a dla BBC, w której mówi on, że dla niego uprawianie matematyki jest jak wchodzenie do ciemnego, nieznanego dworzyszcza, gdzie na początku się błądzi, wpada na ściany i meble, potyka, ale w końcu udaje się znaleźć włącznik światła i nagle wszystko staje się jasne! A potem widzi kolejne drzwi i wchodzi do następnego ciemnego pokoju…

BC: Zawsze jest jakiś kolejny ciemny pokój?

PPS: Tak, w matematyce jest całe mnóstwo ciemnych pokoi – mniejszych, większych, takich, gdzie łatwiej znaleźć włącznik i takich, gdzie bardzo trudno. Ale jest ich na tyle dużo, że wszyscy, którzy wybierają karierę w matematyce, mają co robić i to jest coś, co ich pociąga. A jak człowiek znajdzie ten umowny przycisk, to myśli sobie – Boże, czemu od razu nie pomyślałem, że on powinien być właśnie na tamtej ścianie..?

BC: Sam proces odkrywania tajemnicy i rozwiązywania zagadki na pewno jest bardzo interesujący, wciągający i pochłaniający. Jak wiele można temu poświęcić?

PPS: O, to jest bardzo ciekawe pytanie. Godfrey Harold Hardy, który żył w latach 1877-1947, wielki uczony, miłośnik krykieta, na takie pytanie pewnie odpowiedziałby tak – Ja nie musiałem nic poświęcać. Wybrałem sobie taką drogę kariery, która młodemu człowiekowi bardzo się podobała. Byłem dostatecznie dobry, żeby najpierw dostać stypendium, potem jakieś członkostwo, w końcu profesurę w Cambridge i Oxfordzie. Miałem ten komfort, że trochę czasu spędzałem na matematyce, trochę na twórczych rozmowach z ludźmi zdolniejszymi ode mnie, którzy jednak traktowali mnie po partnersku, część czasu zajmowały mi wykłady dla studentów, a część praca nad zreformowaniem brytyjskiego sposobu wykładania matematyki uniwersyteckiej i jeszcze mogłem oglądać swoje ulubione mecze krykieta. Ale być może Perelman powiedziałby, że coś jednak poświęcił.

BC: A Pan, co by odpowiedział?

PPS: Ja bym odwrócił sytuację i powiedział, że zdarzało mi się poświęcić niewiarygodnie wielką frajdę, wynikającą z tworzenia i z takiego zanurzenia w tworzeniu dla mniej przyjemnych i bardziej przyziemnych rzeczy. I miałem takie okresy w życiu, nie bardzo liczne, kiedy ta frajda była bardzo wysoko albo zupełnie na pierwszym miejscu.

BC: Ale to był wybór.

PPS: Zawsze jest wybór. Ja niektórych swoich wyborów dokonywałem w pełni świadomie, niektórych nie, ale w większości jednak świadomie.

BC: Panie Profesorze, czy można utożsamiać genialną wiedzę matematyczną z mądrością? Czy każdy matematyk to mądry człowiek?

PPS: Nie.

BC: A czym dla Pana jest mądrość, co ona oznacza?

PPS: Genialnemu matematykowi wystarczy, żeby był bardzo błyskotliwy, bardzo szybko kojarzył i bardzo szybko budował z tych myśli precyzyjne konstrukcje. A mądrość wymaga czasami doświadczenia, spokoju, refleksji, dystansu. I można być genialnym matematykiem bez takiego elementu mądrości. Można mieć na przykład takie przekonanie, co jest typowe dla młodych ludzi, że wszyscy wokół są co najmniej tak samo błyskotliwi (skoro studiują to samo co oni), w związku z tym muszą rozwiązywać wyłącznie trudne zadania.

BC: Albo twierdzą wręcz przeciwnie – że wszystko jest trywialne.

PPS: Tak, to taka kalka słowna u matematyków, która oznacza najczęściej, że coś jest byle jakie, wręcz wulgarne, że nie wymaga twórczej aktywności, a matematyk znajduje się po prostu w takim bardzo dobrze oświetlonym pokoju (o czym mówiliśmy wcześniej), wszystko już wie, zna odpowiedzi i nie ma już pytań.

BC: Czy korzystając w tak dużym stopniu z możliwości umysłu i zawierzając jego predyspozycjom, można się czasami rozczarować? Innymi słowy, czy umysł może nas zawieść?

PPS: Po pierwsze – tak. Po drugie – wróćmy może do tego, od czego pani zaczęła, od pytania dlaczego tak nie lubimy matematyki i dlaczego budzi ona tyle niechęci. Wydaje mi się, że jednym z warunków tego, żeby podczas uprawiania zawodu matematyka nie zwariować, nie oszaleć, jest umiejętność akceptowania porażek.

BC: To bardzo ważne spostrzeżenie, ale czy można się tego nauczyć?

PPS: To jest ogólnie bardzo ważna rzecz w życiu każdego z nas. Każdy, kto jest odrobinę starszy (ale pewnie człowiek młody, jak się nad tym zastanowi, to też się z tym zgodzi) wie, że umiejętność akceptowania i znoszenia porażek, a potem wyciągania z nich wniosków to kluczowa umiejętność życiowa. Ale trudno się tego nauczyć. Szkoła w tym nie pomaga, bo programy są tak skonstruowane, żeby przechodzić przez nie możliwie gładko, krok za krokiem, bez większych porażek. A matematyka wymaga gotowości do zaakceptowania porażek; wymaga akceptowania, że próbowałem rozwiązać zadanie i mi się nie udało – może próbowałem za krótko, a może czegoś nie zrozumiałem.

BC: To może oznaczać, że matematyka jednak kształtuje charakter.

PPS: Tak, w taki rozumieniu kształtuje. O ile się ją traktuje poważnie, może kształtować. Matematyka, np. w szkole to takie miejsce, gdzie bardzo łatwo stanąć z porażką oko w oko. A to bardzo trudne doświadczenie. Akceptowanie porażek jest trudne nawet dla dorosłych i na pewno nie jest przyjemne. Nikt z nas nie lubi przegrywać, nie lubi krytyki – zbyt ostrej albo zbyt szczerej.

BC: Ale posiadanie takiej umiejętności jest bardzo przydatne, wręcz niezbędne w dzisiejszych czasach.

PS: Tak, I to na pewno ogromny potencjał, który tkwi w matematyce, szczególnie takiej szkolnej. Oswajanie tego, że czasami może być fajnie, ale czasami można się też potknąć i traktowanie tych potknięć normalnie, jako coś, co może się przytrafić nawet najlepszym – jest kluczowe w wyrabianiu sobie takiej umiejętności. To może być prawdziwe hartowanie charakteru i umysłu.

BC: Czy w takim razie, w tej kluczowej roli umysłu i rozumu, jest miejsce na intuicję?

PPS: Ależ tak. Są ludzie z olbrzymią intuicją, którzy przewidują, że coś będzie tak a nie inaczej, a potem latami nad tym ślęczą, a po jakimś czasie w końcu okazuje, że mieli rację. Są ludzie, u których intuicja działa szybko i sprawnie. Ona na pewno jest bardzo ważna, zarówno w życiu, jak i w matematyce. Dla matematyka to będzie specyficzny rodzaj intuicji, pewien rodzaj wyobraźni, takiego wychodzenia przed szereg – co się stanie, jak zacznę te rachunki…

BC: Czy można w takim razie przyjąć, że może to być rodzaj wspólnego mianownika pomiędzy matematyką i ogólnie naukami ścisłymi, a naukami humanistycznymi, jak pan uważa? Czy jest coś, co łączy obie te sfery?

PPS: Oba te światy łączy to, że stawiamy sobie jakieś pytania i staramy się dociekać, jaka jest na nie odpowiedź. Ale ja bym powiedział, że intuicja w naukach ścisłych jest ważniejsza…

BC: Tak?

PPS: Ależ tak! Jest ważniejsza dlatego, ponieważ drogi do znalezienia odpowiedzi bywają bardziej skomplikowane, żmudne i długie. Ale to dzięki intuicji je dostrzegamy. Z drugiej strony, ona ma tam potężne wsparcie, bo matematyka jest dedukcyjna i ma do dyspozycji olbrzymi aparat formalny, który wpiera cały proces myślenia o problemie, dając do dyspozycji np. metodologię stawiania hipotez i klasyfikowania.

BC: A myśli Pan, że matematyka może przydać się humanistom? A jeśli tak, to do czego?

PPS: Wszystko zależy od tego, na jakim poziomie ma się to dziać. Jako dorosły matematyk mogę powiedzieć, że nie interesują mnie szczegóły gramatyki języka staro-cerkiewo-słowiańskiego. Mieszkam w Polsce i zasadniczo władam językiem polskim, znam go na tyle dobrze, aby się swobodnie komunikować w mowie i piśmie. I z tej perspektywy język staro-cerkiewno-słowiański nie jest mi potrzebny. Pewnie czegoś się w związku z tym pozbawiam, ale mogę bez tego żyć. Gdybym powiedział, że nie interesuje mnie w ogóle język polski, to sam bym się poważnie ograniczył. Ale myślę, że  matematyka na poziomie szkoły średniej i studiów potrafi być sposobem na opisanie części zjawisk w otaczającym świecie, a ktoś, kto rezygnuje z jej poznania, pozbawia się ważnego kawałka i sposobu rozumienia świata.

BC: W takim razie czy matematyka jest sposobem komunikacji dla Pana?

PPS: Oczywiście. Kiedy rozmawiam ze studentami matematyki albo z kolegami po fachu, to matematyka i sposób mówienia o matematyce, sposób jej opisywania, odwołujący się do różnych rzeczy, z pewnością jest specyficznym rodzajem komunikacji. Matematyki nie ma bez komunikacji z innymi. Nawet Perelman, o którym cały świat mówi, że to odludek, pokazał światu swój dowód, opublikował go w Internecie, chciał zaprezentować światu swoją pracę i zademonstrować, nie tylko środowisku naukowemu, że wynik jego pracy jest publiczny, dostępny dla każdego.

BC: A jednak było to zrozumiałe dla wybranych…

PPS: No dobrze. Ale to jest jak czytanie partytury. Nie mogę zrozumieć tych zapisów, ale może mi to ktoś zagrać, wtedy mogę odebrać ten zapis, wysłuchać muzyki ukrytej na pięciolinii. Porównałbym proces czytania dowodu Perelmana przez matematycznych ekspertów do pracy dyrygenta nad partyturą, który szykuje orkiestrę do występu. Nie każdy musi rozumieć „dlaczego”, ale z biegiem czasu coraz więcej ludzi będzie wiedziało „jak”.

BC: Ale przyznaje Pan, że matematycy myślą i porozumiewają się w szczególny sposób?

PPS: O tak, matematycy są bardzo szczególni – mają szczególne poczucie humoru, szczególny sposób mówienia, potrafią być cyniczni, sceptyczni albo irytujący… Jak inni ludzie.

BC: Panie Profesorze, to jeszcze jedno pytanie na zamknięcie naszej rozmowy – matematyka jest najważniejsza?

PPS: Nie. Ale ona może być najważniejsza dla tych, którzy ją wybiorą. Dla jednego najważniejsze mogą być skoki narciarskie, dla kogoś staro-cerkiewno-słowiański, a dla jeszcze innego historia średniowiecznej Francji. Ja uważam, że matematyka jest bardzo ważną częścią naszej cywilizacji i kultury, a bez niej nie byłoby tego, co mamy dzisiaj. Tak samo jak bez literatury czy muzyki.

Mój warszawski znajomy matematyk powiedział mi kiedyś, że matematyki w szkole uczy się z trzech powodów: po pierwsze – bo ma te swoje zastosowania i opisuje różne kawałki świata; po drugie – bo porządkuje myślenie w ogóle, a to jest potrzebne każdemu i przydaje się w zupełnie nie matematycznych sytuacjach; po trzecie w końcu – matematyka jest po prostu piękna!

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *